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文章来源：百勤机械网 | 2022-11-09
线性系统通过非线性反馈产生的混沌现象
1引言
自20世纪90年代以来，科学界掀起了对混沌理论和实验应用研究的高潮，并取得了十分丰富的研究结果[]。然而，大多数学者在研究混沌的控制、同步，以及应用时，都是以Lorenz系统、Chua's电路、Rossler系统、Henon映射、Logistic映射等为例进行研究，所以如果能想办法构造新的混沌系统，这项工作将是有意义的。Lorenz在《混沌的本质》弹弓一书中指出“人们可以构建自己的混沌系统”，目前混沌系统的构造得到了广泛的重视。
本文研究了构造混沌系统的问题，用一个三阶线性自治系统通过非线性反馈构成混沌系统，研究了各种不同的非线性反馈函数作用于线性系统的情况，使得三阶线性自治系统在几种非线性反馈函数作用下产生了混沌。分析了这类系统存在的混沌现象以及产生混沌的原因，并进行了计算机仿真，验证了线性自治系统可打印纸以通过几种非线性反馈产生混沌。
2利用非线性反馈构造混沌系统的方法
3阶线性定常系统：
式中，x∈Ｒ３，Ａ∈Ｒ３×３。系统(1)的动态特性是由系统的参数矩阵A的特征值决定的，但不管A的特征值如何，系统(1)都不会产生混沌。在3阶线性定常系统(1)中施加非线性反馈F(x)，则系统(1)变为：
系统的平衡点xe是不随时金属圆环和矩形试块间而变化的，因此平衡点常被称为不动点。如果在平衡点xe处的Jacobian矩阵的特征值为δ±jω、γ，且δ，γ＜０，ω≠０，则称系统(2)的平衡点为鞍焦点。在动态系统中，如果系统的轨道连接不同的鞍焦点，那么该轨道称为异宿轨道。 文献［４］给出了3阶系统产生的混沌的定理，如下：
Shilnikov定理［４］：假设xe1和xe2是系统(2)的两个不同的平衡点，并且满足如下两个条件，则系统(2)会产生混沌：
(1)在平衡点xe1和xe2处的Jacobian矩阵的特征值δi±jω干燥机i、γi,i=1,2,满足如下条件：｜γi｜＞｜δi｜＞０，δ１δ２＞０，或者γ１γ２＞０；
(2)存在异宿轨道。
本文将利用上述Shilnikov定理，通过适当地选择系统(2)的参数矩阵Ａ和非线性反馈函数F(x)使得系统(2)产生混沌。设系统(2)中的A和F(x)分别为下列形式：
由于非线性函数的作用，系统(4)的平衡点的个数和位置由非线性函数f(x1)决定。只要x1=f(x1)存在解，那么系统的平衡点存在且位于对应的区域中。选择合适的参数，使平衡点处在特征值满足Shminilnikov定理中的条件，系统(2)就会产生混沌。
根据不同的非线性函数(f(x1)的情况对系统(4)进行分析，首先分析饱和函数，饱和函数的定义如式(5)和图2所示。
将系统方程(4)中的非线性函数设计为饱和函数，即将f(x1)＝sat(x1)(5)代入系统方程(4)，可得：
系统具有三个平衡点：xe1＝(1，0，0)，xe2＝（０，０，０），xe3＝（-1，0，0)，由式(6)和(7)可知，图2中切换点k值的选取与系统的平衡点无关，但是与系统的状态有关。系统的三个平衡点在一普通选用中等黏度的矿物油条空间直线上，两边的平衡点xe1和xe3满足Shilnikov定理的条件，而中间的平衡点xe2是不稳定的，因此，系统可以产生混沌。
与饱和函数类似，其他具有类似切换的死区函数、开关函数、滞环函数，作为线性系统的反馈，也可以用来构造混沌系统。由于它们均可以通过变换从饱和函数衍生，因此，它们在作为非线性反馈时，也可以使系统变为混沌系统。下面，我们根据它们之间衍生的关系，对以它们作为反馈的系统进行简单的分析。
饱和函数经过演化可以得到死因函数，其演化过程如图3所示。死区函数的定义如下：